Vissza a főoldalra!

Vissza az előző oldalra!

DT Dénes Tamás matematikus TD

e-mail: titoktan@freemail.hu

A komplementer prímszita alkalmazása az ikerprímek számának becslésére

Abstract. [1]-ben bevezettük a „komplementer prímszita”-t (rövidítése: C.P.S.), amely szükséges és elegendő feltételt ad a 3-nál nagyobb, 6k-1 és 6k+1 alakú összetett számok előállítására. Jelen dolgozatban a C.P.S. alkalmazásával adunk bizonyítást S.W.Golomb ikerprímek számára vonatkozó [3]-beli tételére, majd szintén a C.P.S.-re alapozva levezetünk egy közelítő formulát az ikerprímek T(N) számára, az 1-N intervallumban.

1. Szükséges és elegendő feltétel az "ikerprím tétel"-hez

1. Tétel

ikerprím pár akkor és csak akkor, ha alakú prímek (k=1,2,3,...).

Bizonyítás:

Az [1]-beli 1.tétel alapján (mely szerint minden 3-nál nagyobb prímszám 6k+1 vagy 6k-1 alakú) csak két eset lehetséges.

(1) p=6k-1 q=p+2=6k+1

(2) p=6k+1 q=p+2=6k+3=3(2k+1) ez viszont nem prím.

Tehát csak az (1) eset lehetséges. A másik irányba a bizonyítás triviális.

Q.E.D.

Következmény:

(3) pq = (6k-1)(6k+1) = ha p, q ikerprím pár

Ebből adódik az alábbi 2.tétel:

2. Tétel

()-nek akkor és csak akkor van pontosan két prímtényezője, ha 6k-1 és 6k+1 ikerprím számok.

Bizonyítás:

Ha ()-nek pontosan két prímtényezője van, akkor (3) alapján ezek csak a 6k-1 és 6k+1 számok lehetnek. Tehát ezek ikerprímek.

Ha 6k-1 és 6k+1 ikerprímek, akkor szintén (3) szerint ()-nek nem lehet több prímtényezője.

Q.E.D.

A 2.Tétel alapján az ikerprímek számára vonatkozó alábbi tétel fogalmazható meg:

Akkor és csak akkor van véges számú ikerprím, ha létezik K természetes szám, amelyre teljesül, hogy minden legalább három prímtényezője van. Ez pontosan akkor teljesül, ha 6k-1 és 6k+1 közül legalább az egyik összetett szám. Ez viszont az [1]-beli 2.tétel („komplementer prímszita”) alapján, akkor és csak akkor lehetséges, ha k az alábbi alakok valamelyikében írható:

(4) k=6uv+u+v vagy k=6uv-u-v vagy k=6uv-u+v vagy k=6uv+u-v

Ezzel bizonyítást nyert alábbi tételünk:

3. Tétel

Akkor és csak akkor van véges számú ikerprím, ha létezik K természetes szám, hogy minden -ra igaz, hogy k a (4) alakok valamelyikeként irható.

Ez tehát azt jelenti, hogy véges számútól eltekintve minden k ilyen.

Így a 3.tétellel ekvivalens S.W.Golomb által [3]-ban feladatként közölt alábbi tételét is bebizonyítottuk:

„Akkor és csak akkor van végtelen sok ikerprím, ha van végtelen sok olyan egész szám, amely nem állítható elő a (4) alakok egyikében sem.”

2. Az ikerprímek számának becslése az (1-N) intervallumban

Rendezzük az 1.tábla szerint a 6k-1 és 6k+1 alakú számokat, ahol k végigfut a természetes számokon. Az könnyen belátható, hogy az 1.tábla tartalmazza a második oszlopban az összes 6k-1 alakú, míg a harmadik oszlopban az összes 6k+1 alakú természetes számokat, így az összes prímszámokat is[1]. A fenti 1.tétel szerint tehát az összes iker prímek az 1.tábla azon soraiban vannak, amelyekben a 2. és 3. oszlopban is prímszám van. A 3.tétel állítása tehát azt jelenti, hogy az 1.táblában a K. sor utáni sorokban legfeljebb az egyik szám lehet prím, azaz minden kK sorindex a (4) alakok valamelyikében írható.

1. Tábla

k 6k-1 6k+1

1 5 7 (ikerprímek)

2 11 13 (ikerprímek)

3 17 19 (ikerprímek)

4 23 25 25=

5 29 31 (ikerprímek)

6 35 37 35=

7 41 43 (ikerprímek)

8 47 49 49=

9 53 55 55=

10 59 61 (ikerprímek)

11 65 67 65=

12 71 73 (ikerprímek)

13 77 79 77=

14 83 85 85=

15 89 91 91=

16 95 97 95=

17 101 103 (ikerprímek)

18 107 109 (ikerprímek)

19 113 115 115=

20 119 121 121=

. . . .

K 6K-1 6K+1

. . . .

Most megmutatjuk, hogy az 1.táblában vannak sorok, amelyekben biztosan nincs ikerprím. Ehhez megvizsgáljuk a k=5r, k=5r+1, k=5r+2, k=5r+3, k=5r+4 eseteket, amely esetek nyilvánvalóan előállítják az összes k sorindexet.

-Ha k=5r (r=1,2,3,...), akkor 6k-1=30r-1 és 6k+1=30r+1

Ez a két sorozat tartalmazza az 1.tábla minden ötödik sorát, amelyekben például a következőkben ikerprím van (lásd 1.tábla): r= 1, 2, 5, 6,... k= 5, 10, 25, 30,...

-Ha k=5r+1 (r=1,2,3,...), akkor 6k-1=30r+5=5(6r+1) ami nem prím, így ezek a sorok biztosan nem tartalmaznak ikerprímet (lásd 1.tábla). Például: r=1, 2, 3, 4,... k=6, 11, 16, 21,...

-Ha k=5r+2 (r=0,1,2,3,...), akkor 6k-1=30r+11 és 6k+1=30r+13

Ez a két sorozat szintén végigfut az 1.táblázat másodiktól kezdődő minden ötödik során, amelyekben például a következőkben ikerprím van (lásd 1.tábla): r=0, 1, 2, 3, 6,... k=2, 7, 12, 17, 32,...

-Ha k=5r+3 (r=0,1,2,3,...), akkor 6k-1=30r+17 és 6k+1=30r+19

Ez a két sorozat szintén végigfut az 1.táblázat harmadiktól kezdődő minden ötödik során, amelyekben például a következőkben ikerprím van (lásd 1.tábla): r=0, 3, 4, 6,... k=3, 18, 23, 33,...

-Ha k=5r+4 (r=0,1,2,3,...), akkor 6k-1=30r+23 és 6k+1=30r+25=5(6r+5), ami nem prím, így ezekben a sorokban biztosan nincs ikerprím.

A fentiek alapján tehát az 1.tábla k=5r+1, illetve k=5r+4 soraiban (k=4,6,9,11,14,16,...) biztosan nincs ikerprím, tehát

(5) az összes ikerprímet a k=5r, k=5r+2, k=5r+3 (k=0,1,2,3,...) sorok tartalmazzák.

Innen adódik az N-nél kisebb ikerprímek számára (jele: T(N)) egy felső korlát:

Az 1.tábla sorainak száma N-ig ugyanis

Az előző levezetés szerint ezeknek a soroknak legfeljebb a -öd részében lehet ikerprím, így kapjuk, hogy

(6) T(N)

Vizsgáljuk rendre az (5) alakú sorokat a „komplementer prímszita tétel” fényében. Azaz az (5) sorokban biztosan nincs ikerprím, ha a k sorindex a (4) alakok valamelyikeként írható. Mivel a (4) összefüggések u,v-re szimmetrikusak, így az általánosság csorbítása nélkül vizsgálhatjuk az u=constans esetet.

(7) u=1 és k=5r= 6uv+u+v k=7v+1 mindig teljesül, ha v=5a+2, azaz k=35a+15

(8) u=1 és k=5r= 6uv-u-v k=5v-1 azaz 5r=5v-1, ami sosem teljesül

(9) u=1 és k=5r= 6uv+u-v k=5v+1 azaz 5r=5v+1, ami sosem teljesül

(10) u=1 és k=5r= 6uv-u+v k=7v-1 mindig teljesül, ha v=5a+3, azaz k=35a+20

(11) u=1 és k=5r+2= 6uv+u+v k=7v+1 mindig teljesül, ha v=5a+3, azaz k=35a+22

(12) u=1 és k=5r+2= 6uv-u-v k=5v-1 azaz 5r=5v-3, ami sosem teljesül

(13) u=1 és k=5r+2= 6uv+u-v k=5v+1 azaz 5r=5v-1, ami sosem teljesül

(14) u=1 és k=5r+2= 6uv-u+v k=7v-1 mindig teljesül, ha v=5a+4, azaz k=35a+27

(15) u=1 és k=5r+3= 6uv+u+v k=7v+1 mindig teljesül, ha v=5a+1, azaz k=35a+8

(16) u=1 és k=5r+3= 6uv-u-v k=5v-1 azaz 5r=5v-4, ami sosem teljesül

(17) u=1 és k=5r+3= 6uv+u-v k=5v+1 azaz 5r=5v-2, ami sosem teljesül

(18) u=1 és k=5r+3= 6uv-u+v k=7v-1 mindig teljesül, ha v=5a+2, azaz k=35a+13

A (7), (10), (11), (14), (15), (18) levezetésekből következik, hogy az ikerprímeket tartalmazó (5) sorok -öd részében biztos nincs ikerprím, így a (6) formulát pontosíthatjuk:

(19) T(N)

Az u=2 eset már elvezet az általános formulához.

(20) u=2 és k=5r= 6uv+u+v k=13v+2 mindig teljesül, ha v=5a+1, azaz k=65a+15

(21) u=2 és k=5r= 6uv-u-v k=11v-2 mindig teljesül, ha v=5a+2, azaz k=55a+20

(22) u=2 és k=5r= 6uv+u-v k=11v+2 mindig teljesül, ha v=5a+3, azaz k=55a+35

(23) u=2 és k=5r= 6uv-u+v k=13v-2 mindig teljesül, ha v=5a+4, azaz k=65a+50

(24) u=2 és k=5r+2= 6uv+u+v k=13v+2 mindig teljesül, ha v=5a, azaz k=65a+2

(25) u=2 és k=5r+2= 6uv-u-v k=11v-2 mindig teljesül, ha v=5a+4, azaz k=55a+42

(26) u=2 és k=5r+2= 6uv+u-v k=11v+2 mindig teljesül, ha v=5a, azaz k=55a+2

(27) u=2 és k=5r+2= 6uv-u+v k=13v-2 mindig teljesül, ha v=5a+3, azaz k=65a+37

(28) u=2 és k=5r+3= 6uv+u+v k=13v+2 mindig teljesül, ha v=5a+2, azaz k=65a+28

(29) u=2 és k=5r+3= 6uv-u-v k=11v-2 mindig teljesül, ha v=5a, azaz k=55a-2

(30) u=2 és k=5r+3= 6uv+u-v k=11v+2 mindig teljesül, ha v=5a+1, azaz k=55a+13

(31) u=2 és k=5r+3= 6uv-u+v k=13v-2 mindig teljesül, ha v=5a, azaz k=65a-2

A (20)-(31) összefüggések azt mutatják, hogy bizonyos sortól kezdődően (ezek a kezdősorok mind különbözők) minden 55-ik és 65-ik sorban biztosan nincs ikerprím.

Azaz a (19) szerint még potenciálisan ikerprímeket tartalmazó sorok -öd része kiesik. Belátható, hogy általánosságban igaz bármely u-ra, hogy a potenciálisan ikerprímeket tartalmazó sorok -ad részében nincs ikerprím, ahol

(32)

A „komplementer prímszita” módszernél megmutattuk, hogy ha N-ig akarjuk előállítani a prímszámokat, akkor az u értéket 1-től -ig kell végigfuttatni. Tehát (32)-ből kapjuk, hogy 1- N-ig azoknak a soroknak a száma, amelyben nincs ikerprím:

(33)

A „komplementer prímszita” módszernél kifejtettek miatt azonban, az összes u,v párok m(N)[2] multiplicitással állítják elő a k értékeket K(N) lépésben, így az ikerprímeket nem tartalmazó sorok aránya (jele: S(N)) az alábbi összefüggés szerint alakul:

(34) S(N)

Ebből és (19)-ből T(N)-re az alábbi becslés adódik :

(35) T(N)

A (35) becslést alig torzítja, ha a (36) közelítést használjuk:

(36)

Felhasználjuk az alábbi közelítést (lásd [2] 2.old.):

(37)

A továbbiakban a két oldal középértékét használjuk közelítő értékeként:

(38)

A (38)-at alkalmazva a (36) összefüggésre:

(39)

A (39) közelítő értéket (35)-be helyettesítve kapjuk:

(40) =

(41)

A (41) összefüggést (40)-be behelyettesítve:

(42)

Összehasonlításként közöljük Hardy és Littlewood ikerprímek számára vonatkozó eredményét (lásd [4]), mely szerint, ha x természetes szám, akkor az 1-x-ig előforduló ikerprímek száma:

(41) T(x)

ahol a 2-nél nagyobb prímszámokat jelenti x-ig.

Az alábbi 2.tábla összehasonlító adatokat mutat be az ikerprímek számának valódi és fentiekben bemutatott közelítő értékeire. Az ikerprímek valódi számát 1 - N-ig RT(N)-el jelöljük.

2. Tábla